Олимпиадные задачи из источника «16 турнир (1994/1995 год)» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями
16 турнир (1994/1995 год)
НазадЦелые числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что числа <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup><i>b</i></sup>/<sub><i>c</i></sub> + <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>a</i></sub> и <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>с</i></sub> + <sup><i>с</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup><i>b</i></sup>/<sub><i>a</i></sub> тоже целые. Докажите, что |<i>a</i>| = |<i>b</i>| = |<i>c</i>|.
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.
Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки <i>М</i>, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?
(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена <i>p</i>(<i>x</i>) степени не выше второй сумма приращений <i>p</i>(<i>x</i>) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений <i>p</i>(<i>x</i>) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена <i>p</i> по отрезку (<i>a, b</i>) называется число <i>p</i>(<i>b</i>) – <i>p</i>(<i>a</i>).) б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)
Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
а) достаточно четырёх взвешиваний и
б) недостаточно трёх.
Рассматривается последовательность, <i>n</i>-й член которой есть первая цифра числа 2<sup><i>n</i></sup>.
Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.
Периоды двух последовательностей – <i>m</i> и <i>n</i> – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?
Докажите, что для любых положительных чисел <i>а</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> справедливо неравенство
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98245/problem_98245_img_2.gif">
Фигура Ф представляет собой пересечение <i>n</i> кругов (<i>n</i> ≥ 2, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)
В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.