Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

Известно, что вершины квадрата <i>T</i> принадлежат прямым, содержащим стороны квадрата <i>P</i>, а вписанная окружность квадрата <i>T</i> совпадает с описанной окружностью квадрата <i>P</i>. Найдите углы восьмиугольника, образованного вершинами квадрата <i>P</i> и точками касания окружности со сторонами квадрата <i>T</i>, и величины дуг, на которые вершины восьмиугольника делят окружность.

Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i>₁, то  <i>AB = BA</i>₁).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.