Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> вторично пересекают окружность, проходящую через точки <i>A, O</i> и <i>B</i>, в точках <i>E</i> и <i>K</i>. Докажите, что прямые <i>OC</i> и <i>EK</i> перпендикулярны.

Докажите, что число вида <i>a</i>0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; <i>a</i> – цифра, отличная от 0).  

Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i>₁, то векторы   <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_2.gif">   и   <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_3.gif">   равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться

  а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;

  б) на одной произвольной прямой.  

На отрезке  [0, 1]  числовой оси расположены четыре точки: <i>a, b, c, d</i>.

Докажите, что найдётcя такая точка <i>x</i>, принадлежащая  [0, 1],  что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98260/problem_98260_img_2.png">