Олимпиадная задача по стереометрии и теории чисел: сфера с одной рациональной точкой

Рассмотрим сферу с уравнением  (x – )² + y² + z² = 2.  Точка O с координатами  (0, 0, 0)  – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Допустим что на сфере есть другая рациональная точка  (x, y, z).  x ≠ 0,  так как при  x = 0  имеется единственное решение  (0, 0, 0).  Раскроем скобки:

x² – 2x + 2 + y² + z² = 2  или     Противоречие.

Существует.