Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У каждых двух из них есть общий дед.

Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.

Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность каждых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

На плоскости даны две окружности одна внутри другой. Построить такую точку <i>O</i>, что одна окружность получается из другой гомотетией относительно точки <i>O</i> (другими словами – чтобы растяжение плоскости от точки <i>O</i> с некоторым коэффициентом переводило одну окружность в другую).