Олимпиадные задачи из источника «15 турнир (1993/1994 год)» для 11 класса
15 турнир (1993/1994 год)
НазадРассматривается выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: <i>AB</i> и <i>CD</i> – в точке <i>P, CB</i> и <i>DA</i> – в точке <i>Q</i>. Пусть <i>l<sub>A</sub>, l<sub>B</sub>, l<sub>C</sub></i> и <i>l<sub>D</sub></i> – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно <i>A, B, C, D</i>. Пусть <i>l<sub>P</sub></i> и <i>l<sub>Q</sub></i> – внешние биссектрисы углов соответственно <i>A<sub>PD</sub></i> и <i>A<sub>QB</sub></i> (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...
Существует ли такой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (<i>P</i>(<i>x</i>))<sup><i>n</i></sup>, <i>n</i> > 1, положительны?
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i>, что <i>BC = BM</i> и <i>AC = AN</i>. Докажите, что ∠<i>MCN</i> = 45°.