Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 8 класса - сложность 3-5 с решениями
X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)
НазадТочки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> квадрата <i>ABCD</i> образуют еще один квадрат. <i>DK</i> пересекает <i>NM</i> в точке <i>E</i>, а <i>KC</i> пересекает <i>LM</i> в точке <i>F</i>.
Докажите, что <i>EF || AB</i>.
В угол вписаны непересекающиеся окружности ω<sub>1 </sub> и ω<sub>2</sub>. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>, что <i>l</i><sub>1</sub> касается ω<sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> касается ω<sub>2</sub> (ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> находятся между <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω<sub>2</sub> – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω<sub>2</sub> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>MQ || AL</i>.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Через точку <i>B</i> провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону <i>AD</i> в точке <i>K</i>, а вторая продолжение стороны <i>CD</i> в точке <i>L</i>. Пусть <i>F</i> – точка пересечения <i>KL</i> и <i>AC</i>. Докажите, что <i>BF</i> ⊥ <i>KL</i>.
Перпендикуляр, восстановленный в вершине<i>C</i>параллелограмма<i>ABCD</i>к прямой<i>CD</i>, пересекает в точке<i>F</i>перпендикуляр, опущенный из вершины<i>A</i>на диагональ<i>BD</i>, а перпендикуляр, восстановленный из точки<i>B</i>к прямой<i>AB</i>, пересекает в точке<i>E</i>серединный перпендикуляр к отрезку<i>AC</i>. В каком отношении отрезок<i>EF</i>делится стороной<i>BC</i>?
В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.
Пусть <i>M</i> – середина хорды <i>AB</i> окружности с центром <i>O</i>. Точка <i>K</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>O, P</i> – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к <i>AB</i> в точке <i>A</i> и перпендикуляр к <i>PK</i> в точке <i>P</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точка <i>H</i> – проекция <i>P</i> на <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>QB</i> делит отрезок <i>PH</i> пополам.
Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64799/problem_64799_img_2.png"></div>
В треугольнике <i>ABC</i> отмечены середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> – точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Угол <i>MAN</i> равен 15°, а угол <i>BAN</i> равен 45°.
Найдите угол <i>ABM</i>.