Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 8 класса - сложность 2-5 с решениями
Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H. O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>BHC</i>. Центр <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на отрезке <i>OA</i>. Найдите угол <i>A</i>.
Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?
Что больше: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_2.gif"> или <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_3.gif">
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AD</i> и <i>CE</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – основания перпендикуляров, опущенных на прямую <i>DE</i> из точек <i>A</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что <i>ME = DN</i>.
На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты.
Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три – на правую, то левая чаша перевесит. Пять слонов встали на левую чашу и четыре – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?
В прямоугольнике <i>ABCD</i> на диагонали <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что <i>CK = BC</i>. На стороне <i>ВС</i> отмечена точка <i>М</i> так, что <i>КМ = СМ</i>. Докажите, что <i>АK + ВМ = СМ</i>.
В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: "Ты отличник?", "Ты троечник?", "Ты двоечник?". Ответили "Да" на первый вопрос – 19 учащихся, на второй – 12, на третий – 9. Сколько троечников учится в этом классе?
Точки пересечения графиков четырёх функций, заданных формулами <i>y = kx + b, y = kx – b, y = mx + b</i> и <i>y = mx – b</i>, являются вершинами четырёхугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
Расставьте в левой части равенства <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65900/problem_65900_img_2.gif"> знаки арифметических операций и скобки так, чтобы равенство стало верным для всех <i>а</i>, отличных от нуля.
Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.