Так как  44² < 2016 < 45²,  то натуральных чисел, квадраты которых не больше чем 2016, всего 44. Произведение двух точных квадратов является точным квадратом, поэтому числа  1 = 1²,  4 = 2²,  ...,  1936 = 44²  могут быть отмечены.

  Докажем, что большее количество чисел отметить невозможно. Действительно, рассмотрим искомый набор чисел и разделим каждое из чисел этого набора на наибольший точный квадрат, на который оно делится. Получим новый набор чисел, причём в разложение каждого из получившихся чисел на простые множители эти множители входят только в первой степени. Заметим, что каждый простой множитель (если он есть) должен присутствовать во всех разложениях, так как при перемножении любых двух чисел полученного набора он должен оказаться в чётной степени. Это означает, что после деления каждого числа искомого набора на наибольшие квадраты должно получиться одно и то же число q. Если  q = 1,  то получим набор из 44 чисел, которые сами являются точными квадратами (см. выше), а если  q > 1,  то получим набор из меньшего количества чисел, поскольку  1936q > 2016.

44 числа.