Олимпиадные задачи из источника «10 (2012 год)» для 2-10 класса - сложность 2-3 с решениями
10 (2012 год)
НазадВнутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что <i>OA = OB</i>.
Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.
В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i>: ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = 90°, <i>AB = AE</i>, <i>BC = CD</i>, <i>AC</i> = 1. Найдите площадь пятиугольника.
Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.
Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I<sub>A</sub></i>, <i>I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II<sub>A</sub>I<sub>C</sub></i>. Докажите, что <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?
В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и <i>AB = BC = BD</i>. Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.