Олимпиадные задачи из источника «2004 год» для 9 класса

Радиус описанной окружности треугольника<i> ABC </i>равен радиусу окружности, касающейся стороны<i> AB </i>в точке<i> C' </i>и продолжений двух других сторон в точках<i> A' </i>и<i> B' </i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника<i> A'B'C' </i>.

Треугольник <i>ABC</i> с острым углом  ∠<i>A</i> = α  вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины <i>B</i>, делит треугольник <i>ABC</i> на две части одинаковой площади. Найдите угол <i>B</i>.

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>AC</i> наименьшая. На сторонах <i>AB</i> и <i>CB</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём  <i>KA = AC = CL</i>.  Пусть <i>M</i> – точка пересечения <i>AL</i> и <i>KC</i>, а <i>I</i> – центр вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности. Докажите, что прямая <i>MI</i> перпендикулярна прямой <i>AC</i>.

Докажите, что для любого натурального числа <i>d</i> существует делящееся на него натуральное число <i>n</i>, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на <i>d</i>.

Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.

Назовём <i>белыми</i> числа вида $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$, где $a$ и $b$  — целые, не равные нулю. Аналогично, назовём <i>чёрными</i> числа вида $\sqrt{c+d\sqrt{7}}$, где $c$ и $d$  — целые, не равные нулю. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких белых?

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки.

Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.

Перед экстрасенсом лежит колода из 36 карт рубашкой вверх (4 масти, по 9 карт каждой масти). Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают и показывают ему. После этого экстрасенс называет масть следующей карты и т. д. Задача экстрасенса – угадать масть как можно большее число раз. Рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Помощник экстрасенса знает порядок карт в колоде, не может менять его, но может расположить рубашку каждой из карт тем или иным образом. Мог ли экстрасенс так договориться с помощником, когда тот ещё не знал порядок карт, чтобы обеспечить угадывание масти не менее чем

  a) 19 карт;

  б) 23 карт?

Назовём натуральное число <i>разрешённым</i>, если оно имеет не более 20 различных простых делителей. В начальный момент имеется куча из 2004! камней. Два игрока по очереди забирают из кучи некоторое разрешённое количество камней (возможно, каждый раз новое). Побеждает тот, кто заберёт последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

У квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  коэффициенты <i>p</i> и <i>q</i> увеличили на единицу. Эту операцию повторили девять раз.

Могло ли оказаться, что у каждого из десяти полученных уравнений корни – целые числа?

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на 17% (курс не округляется).

Может ли курс акций дважды принять одно и то же значение?

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.) б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на <i>n</i>%, где <i>n</i> – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли <i>n</i>, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

У квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  коэффициенты <i>p</i> и <i>q</i> увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.