Олимпиадные задачи из источника «1996 год» для 1-8 класса - сложность 3 с решениями
Точка <i>X</i>, лежащая вне непересекающихся окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, такова, что отрезки касательных, проведённых из <i>X</i> к ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>.
Точки <i>P</i><sub>1</sub>, <i>P</i><sub>2</sub>, ..., <i>P</i><sub><i>n</i>–1</sub> делят сторону <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> на <i>n</i> равных частей: <i>BP</i><sub>1</sub> = <i>P</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>2</sub> = ... = <i>P</i><sub><i>n</i>–l</sub><i>C</i>. Точка <i>M</i> выбрана на стороне <i>AC</i> так, что <i>AM = BP</i><sub>1</sub>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108681/problem_108681_img_2.gif"></div>Докажите,...
Вокруг треугольника <i>ABC</i> описана окружность, к ней через точки <i>A</i> и <i>B</i> проведены касательные, которые пересекаются в точке <i>M</i>. Точка <i>N</i> лежит на стороне <i>BC</i>, причём прямая <i>MN</i> параллельна стороне <i>AC</i>. Докажите, что <i>AN = NC</i>.
Точки<i>A</i>и<i>B</i>, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах<i>AB</i>.
Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа <i>n</i> – 1 и <i>n</i> + 1 – нет.
В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:
1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.
2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.
В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?
В углу шахматной доски размером <i>m×n</i> полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?
Целые числа от 1 до <i>n</i> записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат а) при <i>n</i> = 9, б) при <i>n</i> = 11, в) при <i>n</i> = 1996.
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.
б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.