Олимпиадные задачи из источника «1983 год» для 3-9 класса - сложность 2 с решениями
На доске после занятия осталась запись:
"Вычислить <i>t</i>(0) − <i>t</i>(<sup>π</sup>/<sub>5</sub>) + <i>t</i>(<sup>2π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>3π</sup>/<sub>5</sub>) + ... + <i>t</i>(<sup>8π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>9π</sup>/<sub>5</sub>), где <i>t</i>(<i>x</i>) = cos5<i>x</i> + *cos4<i>x</i> + *cos3<i>x</i> + *cos2<i>x</i> + *cos<i>x</i> + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вм...
Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.
Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).
На окружности выбрано пять точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub>, <i>H</i>. Обозначим через <i>h<sub>ij</sub></i> расстояние от точки <i>H</i> до прямой <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub></i>. Доказать, что <i>h</i><sub>12</sub><i>h</i><sub>34</sub> = <i>h</i><sub>14</sub><i>h</i><sub>23</sub>.
Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?
На сторонах треугольника<i>ABC</i>вне его построены правильные треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>,<i>BCA</i><sub>1</sub>и<i>CAB</i><sub>1</sub>. Доказать, что$\overrightarrow{AA_1}$+$\overrightarrow{BB_1}$+$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{0}$.
Доказать, что при любых <i>x</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif"> и <i>y</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif"> выполняется неравенство <i>x</i><sup>4</sup> – <i>x</i>³<i>y</i> + <i>x</i>²<i>y</i>² – <i>xy</i>³ + <i>y</i><sup>4</sup> > <i>x</i>² + <i>y</i>².
Найти наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 4 и уменьшающееся в четыре раза от перестановки этой цифры в конец числа.
Белая плоскость произвольным образом забрызгана чёрной тушью. Доказать, что для любого положительного<i>l</i>существует отрезок длины<i>l</i>, у которого оба конца одного цвета.
Найти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющих уравнению <i>x</i>² = <i>y</i>² + 2<i>y</i> + 13.
Dписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Известно, что <i>AA</i><sub>1</sub> = <i>BB</i><sub>1</sub> = <i>CC</i><sub>1</sub>. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> правильный.