Олимпиадные задачи из источника «1968 год» для 2-8 класса

Правильный треугольник<i>ABC</i>разбит на<i>N</i>выпуклых многоугольников так, что каждая прямая пересекает не более 40 из них (мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если они имеют общую точку, например, если прямая проходит через вершину многоугольника). Может ли быть<i>N</i>больше миллиона?

Внутри выпуклого многоугольника<i>M</i>помещена окружность максимально возможного радиуса<i>R</i>(это значит, что внутри<i>M</i>нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника<i>M</i>и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что<i>R</i>$\ge$1/3.

Известно, что  <i>aⁿ – bⁿ</i>  делится на <i>n</i> (<i>a, b, n</i> – натуральные числа,  <i>a ≠ b</i>).  Доказать, что <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78682/problem_78682_img_2.gif"> делится на <i>n</i>.

Белые и чёрные играют в следующую игру. В углах шахматной доски стоят два короля: белый на a1, чёрный на h8. Играющие делают ход по очереди. Начинают белые. Играющий может ставить своего короля на любое соседнее поле (если только оно свободно), соблюдая следующие правила: нельзя увеличивать расстояние между королями (расстоянием между двумя полями называется наименьшее число шагов короля, за которое он может пройти с одного поля на другое: так, в начале игры расстояние между королями – 7 ходов). Выигрывает тот, кто поставит своего короля на противоположную кромку доски (белого короля на вертикаль h или восьмую горизонталь, чёрного – на вертикаль a или первую горизонталь). Кто выиграет при правильной игре?

На окружности радиуса 1 отмечена точка<i>O</i>и из неё циркулем делается засечка вправо радиусом<i>l</i>. Из полученной точки<i>O</i>₁в ту же сторону тем же радиусом делается вторая засечка, и так делается 1968 раз. После этого окружность разрезается во всех 1968 засечках, и получается 1968 дуг. Сколько различных длин дуг может при этом получиться?

Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом$\alpha$, переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол$\beta$. Дано, что$\beta$<$\alpha$< 180^<tt>o</tt>. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.

Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что сумеет одним выстрелом пробить все четыре лопасти <i>вертилятора</i>. (Вертилятор устроен следующим образом: на оси, вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях друг от друга четыре полудиска, повернутые друг относительно друга под какими-то углами). Джимми может стрелять в любой момент и добиваться произвольной скорости пуль. Доказать, что Джимми выиграет пари.

Двухсотзначное число89252525...2525 умножено на число 444<i>x</i>18<i>y</i>27 (<i>x</i>и<i>y</i>— неизвестные цифры). Оказалось, что 53-я цифра полученного числа (считая справа) есть 1, а 54-я — 0. Найти<i>x</i>и<i>y</i>.

Два маляра красят забор, огораживающий дачные участки. Они приходят через день и красят по одному участку (участков 100 штук) в красный или зелёный цвет. Первый маляр дальтоник и путает цвета, он помнит, что и в какой цвет он сам покрасил, и видит, что покрасил второй маляр, но не знает, в какой цвет. Первый маляр добивается того, чтобы в наибольшем числе мест зелёный участок граничил с красным. Какого наибольшего числа переходов он может добиться (как бы ни действовал второй маляр)? <b>Замечание.</b> Считается, что дачные участки расположены в одну линию.

На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать, что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать по одну сторону от нее.

На плоскости отмечено 1968 точек, являющихся вершинами правильного 1968-угольника. Двое играют в следующую игру: каждый по очереди соединяет две вершины многоугольника отрезком, соблюдая следующие правила: нельзя соединять две точки, хотя бы одна из которых уже соединена с чем-то, и нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода согласно этим правилам. Как нужно играть, чтобы выиграть?

Кто выигрывает при правильной игре?

Двое играют в следующую игру: имеется две кучи конфет. Играющие делают ход по очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из куч, а другую делит на две (равные или неравные) части. Если он не может разделить кучу, так как там всего одна конфета, то он её съедает и выигрывает. Вначале в кучах было 33 и 35 конфет. Кто выиграет, начинающий или его партнер, и как для этого надо играть?

Из пункта <i>A</i> одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?

Докажите, что если <i>p</i> и <i>q</i> – два простых числа, причём  <i>q = p</i> + 2,  то  <i>p^q + q^p</i>  делится на  <i>p + q</i>.

В коридоре длиной 100 метров постелено 20 ковровых дорожек общей длины 1000 метров. Каково может быть наибольшее число незастеленных кусков (ширина дорожки равна ширине коридора)?

Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел делилась на 11.

Как соединить 50 городов наименьшим числом авиалиний так, чтобы из каждого города можно было попасть в любой, сделав не более двух пересадок?

Доказать, что для любых трёх чисел, меньших 1000000, найдётся число, меньшее 100 (но большее 1), взаимно простое с каждым из них.

Расставить в таблице 4×4 16 чисел так, чтобы сумма чисел по любой вертикали, горизонтали и диагонали равнялась нулю. (Таблица имеет 14 диагоналей, включая все малые, состоящие из трёх, двух и одной клеток. Хотя бы одно из чисел должно быть отлично от нуля.)

Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на <i>q</i>² остаток получается меньше ^<i>q</i>²/₂, каково бы ни было <i>q</i>.

Перечислить все числа, обладающие этим свойством.