Олимпиадные задачи из источника «1965 год» - сложность 2 с решениями

Найдите все простые числа вида  <i>P^P</i> + 1  (<i>P</i> – натуральное), содержащие не более 19 цифр.

Все целые числа от 1 до 2<i>n</i> выписаны в строчку. Затем к каждому числу прибавили номер того места, на котором оно стоит.

Доказать, что среди полученных сумм найдутся хотя бы две, дающие при делении на 2<i>n</i> одинаковый остаток.

В прямоугольном бильярде размером <i>p</i>×2<i>q</i>, где <i>p</i> и <i>q</i> – нечётные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длины 2<i>q</i>. Из угла выпущен шарик под углом 45° к стороне. Доказать, что шарик обязательно попадёт в одну из средних луз.

На плоскости даны три точки. Построить три окружности, касающиеся друг друга в этих точках. Разобрать все случаи.

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?

<i>X</i> – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, <i>X, X</i>², <i>X</i>³, <i>X</i>⁴, ..., <i>X^k</i> (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его первая и четвёртая цифры – не нули.

Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.

Окружности<i>O</i>₁и<i>O</i>₂лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность<i>O</i>₁касается двух сторон треугольника, а окружность<i>O</i>₂-- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что<i>O</i>₁. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.

В стране Иллирии некоторые пары городов связаны прямым воздушным сообщением. Докажите, что там есть два города, связанные с равным количеством других городов.

Дан треугольник<i>ABC</i>, в котором сторона<i>AB</i>больше<i>BC</i>. Проведены биссектрисы<i>AK</i>и<i>CM</i>(<i>K</i>лежит на<i>BC</i>,<i>M</i>лежит на<i>AB</i>). Доказать, что отрезок<i>AM</i>больше<i>MK</i>, а отрезок<i>MK</i>больше<i>KC</i>.

Шестизначное число делится на 37. Все его цифры различны. Доказать, что из тех же цифр можно составить и другое шестизначное число, кратное 37.

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.

Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

Дана прямая<i>a</i>и два непараллельных отрезка<i>AB</i>и<i>CD</i>по одну сторону от неё. Найти на прямой<i>a</i>такую точку<i>M</i>, чтобы треугольники<i>ABM</i>и<i>CDM</i>были равновелики.

Докажите следующий признак делимости на 37. Для того, чтобы узнать, делится ли число на 37, надо разбить его справа налево на группы по три цифры. Если сумма полученных трёхзначных чисел делится на 37, то и данное число делится на 37. (Слово "трёхзначные" употреблено условно: некоторые из групп могут начинаться с нулей и быть на самом деле двузначными или меньше; не трёхзначной будет и самая левая группа, если количество цифр нашего числа не кратно 3.)