Задача
ОкружностиO1иO2лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружностьO1касается двух сторон треугольника, а окружностьO2-- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, чтоO1. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.
Решение
Пусть окружность O1касается сторон ACи ABтреугольника ABC, окружность O2касается сторон BCи AB,O— вписанная окружность. Обозначим радиусы окружностей O,O1и O2через r,r1и r2. Пусть треугольники AB1C1и A2BC2подобны треугольнику ABC, причём коэффициенты подобия равны r1/rи r2/rсоответственно. Окружности O1и O2являются вписанными для треугольников AB1C1и A2BC2. Следовательно, эти треугольники пересекаются, так как иначе окружности O1и O2не имели бы общих точек. Поэтому AB1+A2B>AB, т. е. r1+r2>r.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь