Задача
Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?
Решение
Ответ:5896 разрезов, 3932 треугольника.
Решим задачу в общем случае, когда квадрат проколот вnточках. Пусть число полученных треугольников равноx. С одной стороны, сумма углов всех этих треугольников равнаx . 180o. С другой стороны, она равна360o+n . 360o(сумма углов квадрата и сумма углов360oприnвершинах). Следовательно,x= 2n+ 2.
Пусть число проведённых разрезов равноy. С одной стороны, число сторон полученных треугольников равно 3x. С другой стороны, оно равно 4 + 2y(каждая сторона квадрата учитывается один раз, а каждый разрез — два раза).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь