Олимпиадные задачи из источника «1960 год» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2<i>n</i>, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78237/problem_78237_img_2.gif">
Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.
Доказать, что никакую прямоугольную шахматную доску шириной в 4 клетки нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле по одному разу и последним ходом вернувшись на исходную клетку.
Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
Имеется<i>m</i>точек, некоторые из которых соединены отрезками так, что каждая соединена с<i>l</i>точками. Какие значения может принимать<i>l</i>?
Даны числа$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,...,$\alpha_{k}$, причём для всех натуральных нечётных<i>n</i>имеет место равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0. </div>Доказать, что те из чисел$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,...,$\alpha_{k}$, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
В десятичной записи целого числа <i>A</i> все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.
Доказать, что <i>A</i> не является точным квадратом.
Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях<i>P</i><sub>1</sub>и<i>P</i><sub>2</sub>, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.
Дан выпуклый многоугольник и точка<i>O</i>внутри него. Любая прямая, проходящая через точку<i>O</i>, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и<i>O</i>— центр симметрии.