Задачи и олимпиады по математике

Задача

Даны числа$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,...,$\alpha_{k}$, причём для всех натуральных нечётныхnимеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,...,$\alpha_{k}$, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Решение

Расположим числа$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$, ...,$\alpha_{k}^{}$в порядке убывания их абсолютных величин:

$\displaystyle \beta_{1}^{}$,$\displaystyle \beta_{2}^{}$,...,$\displaystyle \beta_{k}^{}$; |$\displaystyle \beta_{1}^{}$|$\displaystyle \ge$|$\displaystyle \beta_{2}^{}$|$\displaystyle \ge$...$\displaystyle \ge$|$\displaystyle \beta_{k}^{}$|,

и соотношение

$\displaystyle \beta_{1}^{n}$ + $\displaystyle \beta_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \beta_{k}^{n}$ = 0

разделим на$\beta_{1}^{n}$:

1 + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ = 0.

(1)

Обозначим через$\beta_{l+1}^{}$первое число, абсолютная величина которого отлична от абсолютной величины числа$\beta_{1}^{}$:

|$\displaystyle \beta_{1}^{}$| = |$\displaystyle \beta_{2}^{}$| = ... = |$\displaystyle \beta_{l}^{}$| > |$\displaystyle \beta_{l+1}^{}$|$\displaystyle \ge$...$\displaystyle \ge$|$\displaystyle \beta_{k}^{}$|.

Соотношение (1) перепишется тогда таким образом:

±1±1±...±1 + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ = 0.

(2)

Выберем теперьnстоль большим, чтобы$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$было меньше, чем$\displaystyle {\frac{1}{2(k-l)}}$; это всегда можно сделать, так как последовательность

$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$, $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$, ...,$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$,...

представляет собой убывающую геометрическую прогрессию (заметим, что|$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$| < 1). При таком выбореnабсолютная величина суммы

S = $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$

будет, очевидно, меньше$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$. Ясно теперь, что количество +1 и -1 в равенстве (2) должно быть одинаковым, так как суммаS, меньшая$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$по абсолютной величине, не сможет компенсировать избытка, представляющего собой (положительное или отрицательное)целоечисло. Итак, числа, равные по абсолютной величине числу$\beta_{1}^{}$, разбиваются на пары в соответствии с утверждением задачи. Исключив эти числа из рассмотрения (что возможно, так как их сумма равна 0), мы проведём точно те же рассуждения для оставшихся чисел и так далее, пока не исчерпаем всех чисел.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления