Олимпиадные задачи из источника «1955 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
На плоскости<i>P</i>стоит прямой круговой конус. Радиус основания<i>r</i>, высота —<i>h</i>. На расстоянии<i>H</i>от плоскости и<i>l</i>от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса<i>R</i>, лежащей в плоскости<i>P</i>и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?
Доказать, что если <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то <i>p – kq</i> есть делитель числа <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.
Пять человек играют несколько партий в домино (два на два) так, что каждый играющий имеет каждого из остальных один раз партнёром и два раза противником. Найти количество сыгранных партий и все способы распределения играющих.
Дано уравнение <i>x<sup>n</sup> – a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> – <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–2</sup> – ... – <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x – a<sub>n</sub></i> = 0, где <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
Дан треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB, BC, CA</i> взяты соответственно точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> так, что <i>AC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>B = BA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>C = CB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i> = 1 : <i>n</i>. На сторонах <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i&g...
Дан трехгранный угол с вершиной<i>O</i>. Можно ли найти такое плоское сечение<i>ABC</i>, чтобы углы<i>OAB</i>,<i>OBA</i>,<i>OBC</i>,<i>OCB</i>,<i>OAC</i>,<i>OCA</i>были острыми?
Квадратная таблица в <i>n</i>² клеток заполнена числами от 1 до <i>n</i> так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если <i>n</i> нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., <i>n</i>. Доказать.
Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.
Найти все действительные решения системы
<i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 1,
<i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> = 1.
Числа 1, 2, ..., <i>k</i>² расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78034/problem_78034_img_2.gif"></div>Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из (<i>k</i>– 1)² чисел и т.д.<i>k</i>раз. Найти сумму выписанных чисел.