Олимпиадные задачи из источника «1951 год» для 9 класса - сложность 2-4 с решениями

При делении многочлена  <i>x</i>¹⁹⁵¹ – 1  на  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>x</i> + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при <i>x</i>¹⁴.

Проекцией точки<i>A</i>из точки<i>O</i>на плоскость<i>P</i>называется точка<i>A'</i>, в которой прямая<i>OA</i>пересекает плоскость<i>P</i>. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка<i>O</i>не лежит в его плоскости?

На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.

На плоскости даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и три угла$\angle$<i>D</i>,$\angle$<i>E</i>,$\angle$<i>F</i>, меньшие180^<tt>o</tt>и в сумме равные360^<tt>o</tt>. Построить с помощью линейки и транспортира точку<i>O</i>плоскости такую, что$\angle$<i>AOB</i>=$\angle$<i>D</i>,$\angle$<i>BOC</i>=$\angle$<i>E</i>,$\angle$<i>COA</i>=$\angle$<i>F</i>(с помощью транспортира можно измерять и откладывать углы).

Докажите, что число  <img align="middle" src="/storage/problem-media/77928/problem_77928_img_2.gif">  не является кубом никакого целого числа.

Имеется кусок цепи из 60 звеньев, каждое из которых весит 1 г. Какое наименьшее число звеньев надо расковать, чтобы из образовавшихся частей можно было составить все веса в 1 г, 2 г, 3 г, ..., 60 г (раскованное звено весит тоже 1 г)?

Точка внутри равнобокой трапеции соединяется со всеми вершинами. Доказать, что из четырёх полученных отрезков можно сложить четырёхугольник, вписанный (Разрешается, чтобы вершины четырёхугольника лежали не только на сторонах трапеции, но и на их продолжениях — прим. ред.) в эту трапецию.

Что больше   <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_2.gif">   или <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_3.gif">?

У выпуклых четырёхугольников<i>ABCD</i>и<i>A'B'C'D'</i>соответственные стороны равны.

Доказать, что если$\angle$<i>A</i>>$\angle$<i>A'</i>, то$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>B'</i>,$\angle$<i>C</i>>$\angle$<i>C'</i>и$\angle$<i>D</i><$\angle$<i>D'</i>.

Докажите, что многочлен  <i>x</i>¹² – <i>x</i>⁹ + <i>x</i>⁴ – <i>x</i> + 1  при всех значениях <i>x</i> положителен.