Олимпиадные задачи из источника «1946 год» для 2-8 класса
В шахматном турнире участвовали ученики 9 и 10 классов. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков набрали девятиклассники?
Автобусная сеть города устроена следующим образом:
1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
3) на каждом маршруте ровно три остановки.
Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)
Из тридцати пунктов<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>, ...,<i>A</i><sub>30</sub>, расположенных на прямой<i>MN</i>на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой<i>MN</i>и образуют с<i>MN</i>следующие углы:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">1</td> <td align="LEFT">2</td> <td align="LEFT">3</td> <td align="LEFT">4</td> <td align="LEFT">5</td> <td align="LEFT">6</td>...
На сторонах угла<i>AOB</i>от вершины<i>O</i>отложены отрезки<i>OA</i>и<i>OB</i>, причем<i>OA</i>><i>OB</i>. На отрезке<i>OA</i>взята точка<i>M</i>, на продолжении отрезка<i>OB</i>— точка<i>N</i>так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>=<i>x</i>. Найти значение<i>x</i>, при котором отрезок<i>MN</i>имеет наименьшую длину.
Докажите, что выражение <i>x</i><sup>5</sup> + 3<i>x</i><sup>4</sup><i>y</i> – 5<i>x</i>³<i>y</i><sup>2</sup> – 15<i>x</i>²<i>y</i>³ + 4<i>xy</i><sup>4</sup> + 12<i>y</i><sup>5</sup> не равно 33 ни при каких целых значениях <i>x</i> и <i>y</i>.
В шахматном турнире участвовали два ученика 7 класса и некоторое число учеников 8 класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый из восьмиклассников набрал одно и то же число очков. Сколько восьмиклассников участвовало в турнире? (Каждый из участников турнира играет с каждым из остальных по одной партии. За выигрыш даётся 1 очко, за ничью – ½ очка, за проигрыш – 0 очков.)
Доказать, что <i>n</i>² + 3<i>n</i> + 5 ни при каком целом <i>n</i> не делится на 121.
Доказать, что в произведении (1 – <i>x + x</i>² – <i>x</i>³ + ... – <i>x</i><sup>99</sup> + <i>x</i><sup>100</sup>)(1 + <i>x + x</i>² + <i>x</i>³ + ... + <i>x</i><sup>99</sup> + <i>x</i><sup>100</sup>) после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих <i>x</i> в нечётной степени.
Решить систему уравнений:
<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> = 6,
<i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> = 9,
<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> = 3,
<i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> = –3,
<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> + <i>x</i><sub>7</sub> = –9,
<i>x</i...
Найти четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.
На прямой даны 3 точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. На отрезке<i>AB</i>построен равносторонний треугольник<i>ABC</i><sub>1</sub>, на отрезке<i>BC</i>построен равносторонний треугольник<i>BCA</i><sub>1</sub>. Точка<i>M</i>— середина отрезка<i>AA</i><sub>1</sub>, точка<i>N</i>— середина отрезка<i>CC</i><sub>1</sub>. Доказать, что треугольник<i>BMN</i>— равносторонний. (Точка<i>B</i>лежит между точками<i>A</i>и<i>C</i>; точки<i>A</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>расположены по одну сторону от прямой<i>AB</i>....
Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?