Олимпиадные задачи из источника «1945 год» - сложность 2 с решениями

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна60^<tt>o</tt>.

Решить в целых числах уравнение  <i>xy</i> + 3<i>x</i> – 5<i>y</i> = – 3.

Сторона <i>AD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> разделена на <i>n</i> равных частей. Первая точка деления <i>P</i> соединена с вершиной <i>B</i>.

Доказать, что прямая <i>BP</i> отсекает на диагонали <i>AC</i> часть <i>AQ</i>, которая равна ¹/_<i>n</i>+1 части диагонали:  <i>AQ = ^AC</i>/_<i>n</i>+1.

Даны 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех четырёхзначных чётных чисел, которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра в числе может повторяться).

Система уравнений второго порядка

   <i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,

   (<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

Доказать, что при любом целом положительном <i>n</i> сумма   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76502/problem_76502_img_2.gif">   больше ½.

Вершины <i>A, B, C</i> треугольника соединены с точками <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).

Могут ли середины отрезков <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ лежать на одной прямой?