Олимпиадные задачи из источника «1945 год» для 8 класса

Решить в целых числах уравнение  <i>xy</i> + 3<i>x</i> – 5<i>y</i> = – 3.

Сторона <i>AD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> разделена на <i>n</i> равных частей. Первая точка деления <i>P</i> соединена с вершиной <i>B</i>.

Доказать, что прямая <i>BP</i> отсекает на диагонали <i>AC</i> часть <i>AQ</i>, которая равна ¹/_<i>n</i>+1 части диагонали:  <i>AQ = ^AC</i>/_<i>n</i>+1.

Из картона вырезали два одинаковых многоугольника, совместили их и проткнули в некоторой точке булавкой. При повороте одного из многоугольников около этой "оси" на25^<tt>o</tt>30^{$\scriptstyle \prime$}он снова совместился со вторым многоугольником. Каково наименьшее возможное число сторон таких многоугольников?

Даны 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех четырёхзначных чётных чисел, которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра в числе может повторяться).

К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти все такие числа.

Доказать, что при любом целом положительном <i>n</i> сумма   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76502/problem_76502_img_2.gif">   больше ½.

Разделить  <i>a</i>¹²⁸ – <i>b</i>¹²⁸  на  (<i>a + b</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴)(<i>a</i>⁸ + <i>b</i>⁸)(<i>a</i>¹⁶ + <i>b</i>¹⁶)(<i>a</i>³² + <i>b</i>³²)(<i>a</i>⁶⁴ + <i>b</i>⁶⁴).

Вершины <i>A, B, C</i> треугольника соединены с точками <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).

Могут ли середины отрезков <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ лежать на одной прямой?