Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 2 с решениями

На столе стоят 13 перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана.

Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Девять одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких конфет стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?

У Ивана-царевича есть два волшебных меча. Первым он может отрубить Змею Горынычу 21 голову. Вторым – 4 головы, но при этом у Змея Горыныча отрастает 2006 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

На плоскости лежат три шайбы <i>A, B</i> и <i>C</i>. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:

  а) (2<i>n</i>+1)-угольника;  б) 2<i>n</i>-угольника?

Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?

На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что на полях чёрного цвета расположено чётное число ладей.

B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

На прямой даны точки <i>А, В</i> и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка <i>АВ</i>. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:

  <i>S</i>₁ – сумма расстояний от точки <i>А</i> до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки <i>В</i> до всех синих точек;

  <i>S</i>₂ – сумма расстояний от точки <i>А</i> до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки <i>В</i> до всех красных точек.

Доказать, что  <i>S</i>₁ ≠ <i>S</i>₂.

На доске написаны числа

  а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;

  б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;

  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.

Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

В Заитильщине 57 деревень, между некоторыми из которых проложены дороги. Известно, что из каждой деревни можно попасть в любую другую, притом по единственному маршруту.

  а) Докажите, что найдётся деревня, из которой выходит лишь одна дорога.

  б) Сколько дорог в Заитильщине?

Делится ли  222⁵⁵⁵ + 555²²²  на 7?

Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны

  а) клеточки b3 и e7;

  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?