Олимпиадные задачи из источника «2006/07»

а) Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп ровно 455 рупий 50 монетами. Смогут ли соратники Кука выкупить его на таких условиях, если в тех краях имеют хождение только монеты в 5, 17 и 31 рупии?

б) А если бы аборигены хотели получить сумму в 910 рупий 50 монетами по 10, 34 и 62 рупии?

На столе стоят 13 перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана.

Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Девять одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких конфет стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?

У Ивана-царевича есть два волшебных меча. Первым он может отрубить Змею Горынычу 21 голову. Вторым – 4 головы, но при этом у Змея Горыныча отрастает 2006 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай ржи, и если изменится, то на сколько?

На прямой через равные промежутки поставили десять точек, и они заняли отрезок длины <i>a</i>. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отрезок длины <i>b</i>. Во сколько раз <i>b</i> больше <i>a</i>?

На плоскости лежат три шайбы <i>A, B</i> и <i>C</i>. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?

Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?

Яблоко плавает на воде так, что ¹/₅ часть яблока находится над водой, а ⁴/₅ – под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 г/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 г/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая – птичке?

B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?