Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.
Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
В некотором множестве введена<nobr>операция <font face="Symbol"></font>,</nobr>которая по каждым двум элементам<i>a</i><nobr>и <i>b</i></nobr>этого множества вычисляет некоторый элемент<i>a</i><font face="Symbol"></font><i>b</i>этого множества. Известно, что:<nobr>1°. Для любых трех элементов <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i></nobr> <nobr> <i>a</i><font face="Symbol"></font>(<i>b</i><font face="Symbol"></font><i>c</i>) = <i>b</i><font face="Symbol">*</font>(<i>c</i><font face="Symbo...
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>xy = a</i>,
<i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>b</i>,
где <i>а</i> и <i>b</i> – некоторые данные действительные числа.
Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.
Если<nobr><i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < <i>x</i><sub>3</sub> < ... < <i>x</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>натуральные числа, то сумма<nobr><i>n</i> – 1</nobr>дробей,<nobr><i>k</i>-я из</nobr>которых, где<nobr><i>k</i> < <i>n</i>,</nobr>равна отношению квадратного корня из разности<nobr><i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> - <i>x</i><sub><i>k</i></sub></nobr>к числу<i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub>, меньше суммы чисел 1,<sup>1</sup>/<sub&g...
Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?
Многочлен <i>p</i> и число <i>a</i> таковы, что для любого числа <i>x</i> верно равенство <i>p</i>(<i>x</i>) = <i>p</i>(<i>a – x</i>).
Докажите, что <i>p</i>(<i>x</i>) можно представить в виде многочлена от (<i>x</i> – <sup><i>a</i></sup>/<sub>2</sub>)².
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа 76² = 5776 – это снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все такие трёхзначные числа <i>A</i>, что последние три цифры числа <i>A</i>² составляют число <i>А</i>.
в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., что для любого натурального <i>n</i> квадрат числа <span style="text-decoration: overline;"><i>a<sub>n</sub>a</i><sub><i>n</i>–1</sub>...<i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>1<...
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) <i>k</i> = 3; б) <i>k</i> = 4; в) <i>k</i> = 6.