Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Теорема Карно» для 9 класса

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Треугольник <i>ABC</i>правильный, <i>P</i> — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников <i>PAB</i>,<i>PBC</i>и <i>PCA</i>на прямые <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, пересекаются в одной точке.

На прямой <i>l</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁и из вершин треугольника <i>ABC</i>на эту прямую опущены перпендикуляры <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\overline{A_1B_1}$:$\overline{B_1C_1}$=$\overline{A_2B_2}$:$\overline{B_2C_2}$(от...

а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>ABC</i>на соответствующие стороны треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁на соответствующие стороны треугольника <i>ABC</i>, тоже пересекаются в одной точке. б) Прямые, проведенные через вершины треугольника <i>ABC</i>параллельно соответствующим сторонам треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>&l...

Точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁таковы, что <i>AB</i>₁=<i>AC</i>₁,<i>BC</i>₁=<i>BA</i>₁и <i>CA</i>₁=<i>CB</i>₁. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вневписанных окружностей на соответственные стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на стороны <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда <i>A</i>₁<i>B</i>² + <i>C</i>₁<i>A</i>² + <i>B</i>₁<i>C</i>² = <i>B</i>₁<i>A</i>² + <i>A</i>₁<i>C</i>² + <i>C</i>₁<i>B</i>² (<i>теорема Карно</i>).