Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями
глава 6. Многоугольники
НазадДоказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i> ctg <sup>π</sup>/<sub>2<i>n</i></sub>;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно <i>n</i><sup><i>n</i>/2</sup>.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки <i>X</i> до вершин правильного <i>n</i>-угольника будет наименьшей, если <i>X</i> – центр <i>n</i>-угольника.
В правильном восемнадцатиугольнике <i>A</i><sub>0</sub>...<i>A</i><sub>17</sub> проведены диагонали <i>A</i><sub>0</sub><i>A</i><sub><i>p</i>+3</sub>, <i>A</i><sub><i>p</i>+1</sub><i>A</i><sub>18–<i>r</i></sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub><i>p</i>+<i>q</i>+3</sub>.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
а) {<i>p, q, r</i>} = {1, 3, 4},
б) {<i>p, q, r</i>} = {2, 2, 3}.
Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>, <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
a) <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif"> б) <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">