Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 6-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Точки<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂,<i>C</i>₁и<i>C</i>₂лежат на сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>. а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника<i>ABC</i>с продолжениями сторон треугольника<i>A'B'C'</i>, полученного из треугольника<i>ABC</i>при гомотетии с центром в точке Лемуана<i>K</i>, то точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₂,<i>B</i>&...

Через точку <i>X</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда <i>X</i> — точка Лемуана.

Докажите, что точка Лемуана треугольника <i>ABC</i>с прямым углом <i>C</i>является серединой высоты <i>CH</i>.

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекают прямую <i>BC</i>в точках <i>D</i>и <i>E</i>. Окружность с диаметром <i>DE</i>пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>X</i>. Докажите, что <i>AX</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Окружность <i>S</i>₁проходит через точки <i>A</i>и <i>B</i>и касается прямой <i>AC</i>, окружность <i>S</i>₂проходит через точки <i>A</i>и <i>C</i>и касается прямой <i>AB</i>. Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника <i>ABC</i>.

Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>AP</i>содержит симедиану <i>AS</i>.

Касательная в точке <i>B</i>к описанной окружности <i>S</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>AC</i>в точке <i>K</i>. Из точки <i>K</i>проведена вторая касательная <i>KD</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>BD</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30^<tt>o</tt>. б) Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что один из углов <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>CAM</i>не превосходит 30^<tt>o</tt>.

а) Пусть <i>P</i> — точка Брокара треугольника <i>ABC</i>. Угол $\varphi$=$\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>BCP</i>=$\angle$<i>CAP</i>называется<i>углом Брокара</i>этого треугольника. Докажите, что <i>ctg</i>$\varphi$=<i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$. б) Докажите, что точки Брокара треугольника <i>ABC</i>изогонально сопряжены. в) Касательная к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>в точке <i>C</i>и прямая, проходящая через точку <i>B</i>параллельно <i>AC</i>, пересекаются в точке <i>A</i>₁. Докажите, что угол Брокара треугольника <i>ABC</i>ра...

а) Через точку Брокара <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>проведены прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>, пересекающие описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>ABC</i>=$\triangle$<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>A</i>₁. б) Треугольник <i>ABC</i>вписан в окружность <i>S</i>. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых <i>PA</i>,<i>PB</i>и <i>PC</i>с окружностью <i>S</i>, может быть равен...

а) Докажите, что внутри треугольника <i>ABC</i>существует такая точка <i>P</i>, что $\angle$<i>ABP</i>=$\angle$<i>CAP</i>=$\angle$<i>BCP</i>. б) На сторонах треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены подобные ему треугольники <i>CA</i>₁<i>B</i>,<i>CAB</i>₁и <i>C</i>₁<i>AB</i>(углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.

Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне <i>AB</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>окружностью девяти точек, виден из ее центра под углом 2|$\angle$<i>A</i>-$\angle$<i>B</i>|.

Докажите, что прямая Эйлера треугольника <i>ABC</i>параллельна стороне <i>BC</i>тогда и только тогда, когда <i>tgBtgC</i>= 3.

а) Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>. б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>. а) Докажите, что треугольники<i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>имеют общую окружность девяти точек. б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>пересекаются в одной точке. в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику <i>HABC</i>.

Внутри остроугольного треугольника <i>ABC</i>дана точка <i>P</i>. Опустив из нее перпендикуляры <i>PA</i>₁,<i>PB</i>₁и <i>PC</i>₁на стороны, получим $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Проделав для него ту же операцию, получим $\triangle$<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, а затем $\triangle$<i>A</i>₃<i>B</i>₃<i>C</i>₃. Докажите, что $\triangle$<i>A&l...

Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и <i>C</i>₂; <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ — подерный треугольник точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>(см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/156949">5.99</a>). Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>A</i>&lt...

Точка <i>P</i>движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что при этом прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой <i>P</i>.

На окружности фиксированы точки <i>P</i>и <i>C</i>; точки <i>A</i>и <i>B</i>перемещаются по окружности так, что угол <i>ACB</i>остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки <i>P</i>относительно треугольников <i>ABC</i>касаются фиксированной окружности.

Пусть <i>A</i>₁и <i>B</i>₁ — проекции точки <i>P</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>на прямые <i>BC</i>и <i>AC</i>. Докажите, что длина отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁равна длине проекции отрезка <i>AB</i>на прямую <i>A</i>₁<i>B</i>₁.