Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Выпуклые многоугольники» - сложность 4-5 с решениями
параграф 1. Выпуклые многоугольники
Назада) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами. б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.
В окружность вписан выпуклый<i>n</i>-угольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников<i>A</i><sub>p</sub><i>A</i><sub>q</sub><i>A</i><sub>r</sub>есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее<i>n</i>- 2.
Точка <i>O</i>лежит внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что среди углов<i>A</i><sub>i</sub><i>OA</i><sub>j</sub>не менее<i>n</i>- 1 не острых.
Дан выпуклый<i>n</i>-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158119">22.8</a>, не менее<i>n</i>- 2.
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.
Выпуклый<i>n</i>-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники<i>ABC</i>и<i>ACD</i>заменяются на треугольники<i>ABD</i>и<i>BCD</i>. Пусть<i>P</i>(<i>n</i>) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а)<i>P</i>(<i>n</i>)$\ge$<i>n</i>- 3; б)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 7; в)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 10 при<i>n</i>$\ge$13.
Докажите, что существует такое число <i>N</i>, что среди любых <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.