Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Наименьший или наибольший угол» для 9 класса

а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/$\sqrt{3}$. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что если длины отрезков<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁не превосходят 1, то площадь треугольника<i>ABC</i>не превосходит1/$\sqrt{3}$.

Внутри остроугольного треугольника взята точка <i>P</i>. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки <i>P</i>до вершин этого треугольника меньше удвоенного наименьшего из расстояний от <i>P</i>до его сторон.

Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка <i>O</i>лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.

Внутри круга радиуса 1 лежат восемь точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 1.

В некоторой стране 100 аэродромов, причём все попарные расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается самолет и летит на ближайший к нему аэродром.

Докажите, что ни на один аэродром не может прилететь больше пяти самолетов.

Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше 1, то его площадь меньше$\sqrt{3}$/4.

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.