Олимпиадные задачи из источника «глава 18. Поворот» для 1-8 класса - сложность 1-3 с решениями
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
Дан треугольник<i>ABC</i>. На его сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>построены внешним образом квадраты<i>ABMN</i>и <i>BCPQ</i>. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков<i>MQ</i>и <i>AC</i>образуют квадрат.
На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата:<i>ABCD</i>,<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>CD</i><sub>2</sub>; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины <i>A</i>и <i>C</i>. Докажите, что медиана<i>BM</i>треугольника<i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>перпендикулярна отрезку<i>D</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>2</sub>.
На сторонах <i>CB</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что периметр треугольника <i>CMK</i> равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла <i>MAK</i>.
Два квадрата<i>BCDA</i>и <i>BKMN</i>имеют общую вершину <i>B</i>. Докажите, что медиана<i>BE</i>треугольника<i>ABK</i>и высота<i>BF</i>треугольника<i>CBN</i>лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медиана<i>CM</i>и высота<i>CH</i>. Прямые, проведенные через произвольную точку <i>P</i>плоскости перпендикулярно<i>CA</i>,<i>CM</i>и <i>CB</i>, пересекают прямую<i>CH</i>в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>M</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что<i>A</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub>=<i>B</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub>.
На сторонах<i>BC</i>и <i>CD</i>квадрата<i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>K</i>соответственно, причем$\angle$<i>BAM</i>=$\angle$<i>MAK</i>. Докажите, что<i>BM</i>+<i>KD</i>=<i>AK</i>.
Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub> взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i><sub>1</sub> опущен перпендикуляр на <i>A</i><sub>2</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>2</sub> — перпендикуляр на <i>A</i><sub>3</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>3</sub> — на <i>A</i><sub>4</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>4</sub> — на <i>A</i><sub>1</sub><i>P</i>. Докажите...
На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что <i>AP = BP + CP</i>.