Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» для 7-8 класса - сложность 3-4 с решениями

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка <i>P</i>. Точка <i>Q</i>такова, что<i>CQ</i>||<i>AP</i>, а точка <i>R</i>такова, что<i>AR</i>||<i>BQ</i>и <i>CR</i>||<i>BP</i>. Докажите, что<i>S</i>_ABC=<i>S</i>_PQR.

Точки <i>P</i>₁,<i>P</i>₂и <i>P</i>₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>P</i>_i,<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>P</i>_i,...,<i>A</i>_{2n - 1}<i>A</i>_2n<i>P</i>_iравна одному и тому...

Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i>_BOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + <i>S</i>_AOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + <i>S</i>_AOB^.$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$. </div>

Дано <i>n</i>попарно не сонаправленных векторов (<i>n</i>$\ge$3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый<i>n</i>-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

Пусть <i>E</i>и <i>F</i> — середины сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника<i>ABCD</i>,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины отрезков<i>AF</i>,<i>CE</i>,<i>BF</i>и <i>DE</i>. Докажите, что<i>KLMN</i> — параллелограмм.