Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 5-10 класса - сложность 1 с решениями
глава 10. Неравенства для элементов треугольника
НазадДокажите, что если треугольник <i>ABC</i>лежит внутри треугольника <i>A'B'C'</i>, то <i>r</i><sub>ABC</sub><<i>r</i><sub>A'B'C'</sub>.
Через точку <i>O</i>пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его стороны в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>NO</i>$\leq$2<i>MO</i>.
<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>c</i><sup>n</sup>><i>a</i><sup>n</sup>+<i>b</i><sup>n</sup>при <i>n</i>> 2.
Докажите, что в треугольнике угол <i>A</i>острый тогда и только тогда, когда <i>m</i><sub>a</sub>><i>a</i>/2.
Докажите, что $\angle$<i>ABC</i><$\angle$<i>BAC</i>тогда и только тогда, когда <i>AC</i><<i>BC</i>, т. е. против большего угла треугольника лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.
Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.
Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.
Докажите, что если <i>a</i> > <i>b</i>, то <i>m</i><sub>a</sub><<i>m</i><sub>b</sub>.