Олимпиадные задачи из источника «параграф 13. Неравенства в треугольниках» для 9 класса - сложность 1-5 с решениями
параграф 13. Неравенства в треугольниках
НазадОкружность <i>S</i><sub>1</sub>касается сторон <i>AC</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>, окружность <i>S</i><sub>2</sub>касается сторон <i>BC</i>и <i>AB</i>, кроме того, <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности <i>S</i>.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>так, что прямые <i>AX</i>,<i>BY</i>,<i>CZ</i>пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что из отношений <i>OA</i>:<i>OX</i>,<i>OB</i>:<i>OY</i>,<i>OC</i>:<i>OZ</i>по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AK</i>и <i>CM</i>. Докажите, что если <i>AB</i>><i>BC</i>, то <i>AM</i>><i>MK</i>><i>KC</i>.
На продолжении наибольшей стороны <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>за точку <i>C</i>взята точка <i>D</i>так, что <i>CD</i>=<i>CB</i>. Докажите, что угол <i>ABD</i>не острый.
Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<i>AO</i>sin <i>BOC</i>+<i>BO</i>sin <i>AOC</i>+<i>CO</i>sin <i>AOB</i>$\leq$<i>p</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>стороны равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>; соответственные углы (в радианах) равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$. </div>
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AD</i>, медиана <i>BM</i>и высота <i>CH</i>пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла <i>A</i>?
Через вершину <i>A</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>проведена окружность, касающаяся стороны <i>BC</i>в точке <i>M</i>и пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>AN</i>><i>CM</i>.
Медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны. Докажите, что <i>ctgA</i>+<i>ctgB</i>$\geq$2/3.
В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>c</i>наибольшая, а <i>a</i>наименьшая. Докажите, что <i>l</i><sub>c</sub>$\leq$<i>h</i><sub>a</sub>.
Докажите, что если треугольник <i>ABC</i>лежит внутри треугольника <i>A'B'C'</i>, то <i>r</i><sub>ABC</sub><<i>r</i><sub>A'B'C'</sub>.
Через точку <i>O</i>пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его стороны в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>NO</i>$\leq$2<i>MO</i>.