Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 3-6 класса - сложность 1 с решениями
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
НазадМальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?
Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?
Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?
Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?
Назовём натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечётные цифры.
Сколько существует четырёхзначных "симпатичных" чисел?
а) В Стране Чудес есть три города <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i>. Из города <i>A</i> в город <i>B</i> ведет 6 дорог, а из города <i>B</i> в город <i>C</i> – 4 дороги.
Сколькими cпособами можно проехать от <i>A</i> до <i>C</i>?
б) В Стране Чудес построили еще один город <i>D</i> и несколько новых дорог – две из <i>A</i> в <i>D</i> и две из <i>D</i> в <i>C</i>.
Сколькими способами можно теперь добраться из города <i>A</i> в город <i>C</i>?
Поместится ли все население Земли, все здания и сооружения на ней в куб с длиной ребра 3 километра?
Докажите, что при <i>x</i> ≥ 0 имеет место неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30879/problem_30879_img_2.gif">
Докажите, что при <i>a, b, c</i> > 0 имеет место неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30876/problem_30876_img_2.gif">
Докажите, что ½ (<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ <i>xy</i> при любых <i>x</i> и <i>y</i>.
Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединённых между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.
Докажите, что не существует графа без петель и кратных рёбер с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4, 4, 2.
Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?
Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4,
а) если каждая цифра может встречаться только один раз?
б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?
Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?
Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок?
Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких днейприглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?
Сколькими способами можно составить комиссию из трёхчеловек, выбирая её членов из четырёх супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?
а) Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
б) Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в том же классе?
Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на <i>m</i> полей вправо или на <i>n</i> полей влево. При каких <i>m</i> и <i>n</i> она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?
Докажите, что <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>...<i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>a<sub>n</sub></i></span> ≡ <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>a<sub>n</sub></i></span> (mod 4).
Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю
а) 10; б) 2; в) 5.
Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными – единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра – единица, то выиграл первый игрок, если двойка – то второй.