Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 9 класса - сложность 1 с решениями

Найдите коэффициент при <i>x</i> у многочлена  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)...(<i>x – z</i>).

Докажите, что геометрическая прогрессия{<i>a</i>_n} =<i>bx</i>₀ⁿудовлетворяет соотношению (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.2</a>) тогда и только тогда, когда<i>x</i>₀-- корень характеристического уравнения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i>_n}.

<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i>_n+2=<i>p</i><i>a</i>_n+1+<i>q</i><i>a</i>_n </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...

<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>². Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы1²+ 2²+ 3²+...+<i>n</i>².

Пусть даны последовательности чисел {<i>a</i>_n} и {<i>b</i>_n}, связанные соотношением$\Delta$<i>b</i>_n=<i>a</i>_n,    (<i>n</i>= 1, 2,...). Как связаны частичные суммы<i>S</i>_nпоследовательности {<i>a</i>_n}<div align="CENTER"> <i>S</i>_n = <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ +...+ <i>a</i>_n </div>с последовательностью {<i>b</i>_n}?

Найдите <table> <tr><td align="LEFT">а) $\Delta$<i>n</i>²;    </td> <td align="LEFT">в) $\Delta$<i>n</i>^k;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\Delta$<i>n</i>(<i>n</i> - 1);    </td> <td align="LEFT">д) $\Delta$<i>C</i>_n^k.</td> </tr> </table>

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если

а)  <i>s</i> = 4;   б)  <i>s</i> = 5;   в)  <i>s</i> = 6;   г)  <i>s</i> = 7.

Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Предположим, что имеется набор функций  <i>f</i>₁(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>), определённых на отрезке  [<i>a, b</i>].  Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>

Докажите, что уравнение   ^<i>x</i>/_<i>y</i> + ^<i>y</i>/_<i>z</i> + ^<i>z</i>/_<i>x</i> = 1   неразрешимо в натуральных числах.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (1 +^<i>x</i>/_<i>y</i>)(1 +^<i>y</i>/_<i>z</i>)(1 +^<i>z</i>/_<i>x</i>) ≥ 8.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61379/problem_61379_img_2.gif">

Докажите для положительных значений переменной неравенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61364/problem_61364_img_2.gif">

Докажите для положительных значений переменных неравенство  <img width="56" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61362/problem_61362_img_2.gif"> ≤ <img width="46" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61362/problem_61362_img_3.gif">.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61360/problem_61360_img_2.gif">

Докажите неравенство для положительных значений переменных:  <i>x</i>² +<i>y</i>² + 1 ≥<i>xy + x + y</i>.

Докажите неравенство   <img width="41" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61356/problem_61356_img_2.gif"> ≤ <img width="51" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61356/problem_61356_img_3.gif">   для положительных значений переменных.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:

<img width="114" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_2.gif"> ≥ <img width="33" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_3.gif"> + <img width="33" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_4.gif">.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (<i>a + b + c + d</i>)² ≤ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²).

Докажите, что   <img width="73" height="61" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61353/problem_61353_img_2.gif"> ≥ <img width="43" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61353/problem_61353_img_3.gif">.

Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.

Докажите формулу:<div align="CENTER"> arccos <i>x</i> = $\displaystyle \left{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$ </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> = <i>arctg</i> $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$, </div>где$\varepsilon$= 0, если<i>xy</i>< 1,$\varepsilon$= - 1 , если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>< 0,$\varepsilon$= + 1, если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>> 0.

Чему равна сумма<i>arctg</i> <i>x</i>+<i>arcctg</i> <i>x</i>

Докажите формулы:<div align="CENTER"> arcsin(- <i>x</i>) = - arcsin <i>x</i>,    arccos(- <i>x</i>) = $\displaystyle \pi$ - arccos <i>x</i>. </div>