Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 8 класса

Имеется система уравнений     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.

Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Решите системы уравнений: а)   <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 0,

      <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 0,

&nbsp     ...

      <i>x</i>₉₉ + <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ = 0,

      <i>x</i>₁₀₀ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ = 0; б)   <i>x + y + z = a</i>,

      <i>y + z + t = b</i>,

      <i>y + z + t = c</i>,

      <...

Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки  (1, 1, 1, 1)  и  (1, 2, 2, 1)  служат решениями.

За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если

  а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?

  б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?

На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2. а) <img width="105" height="89" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_2.gif" alt="\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}">

б) <img width="111" height="98" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_3.gif" alt="\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25...

Решите системы а) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_2.gif"><img width="190" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_3.gif">б) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_4.gif"><img width="203" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_5.gif"> в) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0"...

Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шёл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошёл Коля Васин?

Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.

Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.

Последовательность чисел {<i>a</i>_n} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i>₁ = 1,        <i>a</i>_{n + 1} = <i>a</i>_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A₀(x₀,f(x₀))</i>,<i>A₁(x₁,f(x₁))</i>,...,<i>A_n(x_n,f(x_n))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B₀(x₀,x₀)</i>,<i>B<...

Зафиксируем числа<i>a</i>₀и<i>a</i>₁. Построим последовательность {<i>a</i>_n} в которой<div align="CENTER"> <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Выразите<i>a</i>_nчерез<i>a</i>₀,<i>a</i>₁и<i>n</i>.

Пусть<i>a</i>и<i>k</i>> 0 произвольные числа. Определим последовательность {<i>a</i>_n} равенствами<div align="CENTER"> <i>a</i>₀ = <i>a</i>,        <i>a</i>_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$<i>a</i>_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что при любом неотрицательном<i>n</i>выполняется равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displa...

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет${\frac{2}{3}}$л и${\frac{1}{3}}$л с точностью до 1 миллилитра.

Докажите, что   (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² – <i>ab – bc – ac</i>)(<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² – <i>xy – yz – xz</i>) = <i>X</i>² + <i>Y</i>² + <i>Z</i>² – <i>XY – YZ – XZ</i>, если   <i>X = ax + cy + bz,   Y = cx + by + az,   Z = bx + ay + cz</i>.

Выразите через <i>a</i> и <i>b</i> действительный корень уравнения  <i>x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i> = 0.

Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

Разложите многочлен  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ – 3<i>abc</i>  на три линейных множителя.

Какими должны быть числа <i>a</i> и <i>b</i>, чтобы выполнялось равенство  <i>x</i>³ + <i>px + q = x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i>?

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² – <i>b</i> = 0,  где <i>a</i> и <i>b</i> вещественные и  <i>b</i> > 0,  имеет один и только один положительный корень.

Решите уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> = – ¹/₃.

Докажите, что произвольное уравнение третьей степени  <i>z</i>³ + <i>Az</i>² + <i>Bz + C</i> = 0  при помощи линейной замены переменной  <i>z = x</i> + β  можно привести к виду  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0.