Пусть ω — кубический корень из 1.

  Будем рассматривать наше выражение как многочлен от переменной a (а b и c – как константы). Как известно (см. задачу 161005 г),

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc).  Следовательно,  – (b + c)  – корень этого многочлена. Но это же выражение можно записать в виде  a³ + ω³b³ + ω⁶c³ – 3ω³abc = a³ + (ωb)³ + (ω²c)³ – 3a(ωb)(ω²c),  и из вышеуказаного разложения следует, что  – (ωb + ω²c)  – также корень. Аналогично корнем нашего многочлена является и  – (ω²b + ωc).  Значит,  a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a + ωb + ω²c)(a + ω²b + ωc).

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a + ωb + ω²c)(a + ω²b + ωc).