Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Теорема Виета» для 7-11 класса - сложность 2 с решениями

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше

  а)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 8,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 9;

  б)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 11,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 12?

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника, <i>p</i> – его полупериметр, а <i>r</i> и <i>R</i> – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от <i>p, r, R</i>, корнями которого являются числа <i>a, b, c</i>. Докажите равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61045/problem_61045_img_2.gif"></div>

При каких <i>a</i> и <i>b</i> уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax + b</i> = 0  имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

Числа  <i>x, y, z</i>  удовлетворяют системе

      <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_2.gif"><img width="134" height="70" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_3.gif">

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно <i>a</i>.

Известно, что  <i>a + b + c</i> = 0,  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² = 1.  Найдите  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.