Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Рекуррентные последовательности» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями

Пусть(1 +$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)ⁿ=<i>p</i>_n+<i>q</i>_n$\sqrt{2}$+<i>r</i>_n$\sqrt{3}$+<i>s</i>_n$\sqrt{6}$(<i>n</i>$\geqslant$0). Найдите: а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{s_n}}$.

Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности a) <i>a</i>_n=<i>n</i>²;        б) <i>a</i>_n=<i>n</i>³?

Найдите формулу<i>n</i>-го члена для последовательностей, заданных условиями (<i>n</i>$\geqslant$0): <table> <tr><td align="LEFT">a) <i>a</i>₀ = 0, <i>a</i>₁ = 1, <i>a</i>_{n + 2} = 4<i>a</i>_{n + 1} - 5<i>a</i>_n;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <i>a</i>₀ = 1, <i>a</i>₁ = 2, <i>a</i>_{n + 2} = 2<i>a</i>_{n + 1} - 2<i>a</i>_n;</td> </tr> <tr><td align...

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Определим последовательности {<i>x</i>_n} и {<i>y</i>_n} при помощи условий:<div align="CENTER"> <i>x</i>_n = <i>x</i>_{n - 1} + 2<i>y</i>_{n - 1}sin²$\displaystyle \alpha$,    <i>y</i>_n = <i>y</i>_{n - 1} + 2<i>x</i>_{n - 1}cos²$\displaystyle \alpha$;    <i>x</i>₀ = 0, <i>y</i>₀ = cos$\displaystyle \alpha$. </div>Найдите выражение для<i>x</i>_nи<i>y</...

Докажите, что последовательность  <i>a_n</i> = 1 + 17<i>n</i>²  (<i>n</i> ≥ 0)  содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на<i>n</i>-ом году роста первоначального растения?

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника <i>ABCDEF</i>, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.

  а) Сколькими способами она может попасть из <i>A</i> в <i>C</i> за <i>n</i> прыжков?

  б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в <i>D</i>?

<b>Лягушка-сапер</b>.

  в) Пусть путь лягушки начинается в вершине <i>A</i>, а в вершине <i>D</i> находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через <i>n</i> секунд?

  г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах <i>F_n</i>(<i>x</i>) и <i>L_n</i>(<i>x</i>). Решите задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160581">160581</a> и <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160582">160582</a>, используя многочлены Фибоначчи.

Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#fibonacci">статьи</a> в справочнике.

Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами

  <i>U_n</i>(^<i>x</i>/₂) = <i>i^–nF</i>_<i>n</i>+1(<i>ix</i>);   2<i>T_n</i>(^<i>x</i>/₂) = <i>i^–nL_n</i>(<i>ix</i>).

Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#chebysheva">справочнике</a>.

Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка, аналогичную формуле Бине (см. задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160578">160578</a> и <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160587">160587</a>).

Определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#fibonacci">здесь</a>.

Разложите функции   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61469/problem_61469_img_2.gif">   и   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61469/problem_61469_img_3.gif">   (<i>n</i> ≥ 1)  в цепные дроби.

Определения многочленов Фибоначчи <i>F_n</i>(<i>x</i>) и Люка <i>L_n</i>(<i>x</i>) смотри, например, <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#fibonacci">здесь</a>.

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#fibonacci">здесь</a>). Какие значения эти многочлены принимают при <i>x</i> = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:

  а)  <i>L_n</i>(<i>x</i>) = <i>F</i>_<i>n</i>–1(<i>x</i>) + <i>F</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>)  (<i>n</i> ≥ 1);

  б)  <i>F_n</i>(<i>x</i>)(<i>x</i>² + 4) = <i>L</i>_<i>n</i>–1(...

Найдите все целочисленные решения уравнения  <i>a</i>² – 3<i>b</i>² = 1.

Рассмотрим равенства:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">2 + $\displaystyle \sqrt{3}$</td> <td align="CENTER">=</td> <td align="LEFT">$\displaystyle \sqrt{4}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$,</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)²</td> <td align="CENTER">=</td> <td align="LEFT">$\displaystyle \sqrt{49}$ + $\displaystyle \sqrt{48}$,</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)³</td> <td align="CENTER&quot...

При возведении числа  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif"> в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:

  (1 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif">)¹ = 1 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif"> = <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.g...

Найдите формулу<i>n</i>-го члена для последовательностей, заданных условиями (<i>n</i>$\geqslant$0): <table> <tr><td align="LEFT">a) <i>a</i>₀ = 0, <i>a</i>₁ = 1, <i>a</i>_{n + 2} = 5<i>a</i>_{n + 1} - 6<i>a</i>_n;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <i>a</i>₀ = 1, <i>a</i>₁ = 1, <i>a</i>_{n + 2} = 3<i>a</i>_{n + 1} - 2<i>a</i>_n;</td> </tr> <tr><td align...