Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 9 класса - сложность 1 с решениями
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.
Докажите, что выпуклый <i>n</i>-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>n</i></sub> вокруг некоторой точки.
Площадь трапеции <i>ABCD</i> равна 405. Диагонали пересекаются в точке <i>O</i>, отрезки, соединяющие середину <i>P</i> основания <i>AD</i> с вершинами <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются с диагоналями трапеции в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Найдите площадь треугольника <i>MON</i>, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что она в полтора раза меньше большего основания и на 3 больше меньшего.
Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания.
Точка<i> A </i>лежит в плоскости<i> α </i>, ортогональная проекция отрезка<i> AB </i>на эту плоскость равна 1,<i> AB = </i>2. Найдите расстояние от точки<i> B </i>до плоскости<i> α </i>.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми рёбрами.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите объём пирамиды.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите высоту пирамиды.
Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром<i> a </i>.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Медиана <i>AD</i>, высота <i>BE</i> и биссектриса <i>CF</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что <i>BO = CO</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.
Даны точки <i>A</i>(0;0), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(3;3), <i>D</i>(2; - 1) и окружность <!-- MATH $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 1)<sup>2</sup> + (<i>y</i> + 3)<sup>2</sup> = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен <i>a</i>.
Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного – за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых <!-- MATH $2x + y - 6 = 0$ --> 2<i>x</i> + <i>y</i> - 6 = 0, <!-- MATH $x - y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - <i>y</i> + 4 = 0 и <i>y</i> + 1 = 0.