Олимпиадные задачи из источника «Рамблер-Наука - задача дня (www.nature.ru)» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.

Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

В автобусе <i>n</i> мест, и все билеты проданы <i>n</i> пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?

Докажите, что многочлен  <i>x</i>⁴⁴ + <i>x</i>³³ + <i>x</i>²² + <i>x</i>¹¹ + 1  делится на   <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке.

Удастся ли это ему?

Существует ли непрерывная функция, принимающая каждое действительное значение ровно 3 раза?

Укажите такое шестизначное число <i>N</i>, состоящее из различных цифр, что числа 2<i>N</i>, 3<i>N</i>, 4<i>N</i>, 5<i>N</i>, 6<i>N</i> отличаются от него перестановкой цифр.

Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.

На бесконечной шахматной доске через каждые три клетки по горизонтали и по вертикали стоит фишка. Можно ли обойти конем оставшуюся часть доски, побывав при этом на каждом поле ровно один раз?

Докажите, что рациональные числа из отрезка [0;1] можно покрыть системой интервалов суммарной длины не больше 1/1000.

Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. Один называет два числа, являющихся концами отрезка. Следующий должен назвать два других числа, являющихся концами отрезка, вложенного в предыдущий. Игра продолжается бесконечно долго. Первый стремится, чтобы в пересечении всех названных отрезков было хотя бы одно рациональное число, а второй стремится ему помешать. Кто выигрывает?

Вычислите$\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx$.

За дядькой Черномором выстроились чередой бесконечное число богатырей разного роста. Докажите, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечное число богатырей и все они стояли по росту (в порядке возрастания или убывания).

Докажите, что внутри выпуклого многоугольника можно поместить его образ при гомотетии с коэффициентом – ½.

Пусть f - непрерывная функция, определенная на отрезке [0;1] такая, что f(0)=f(1)=0. Докажите, что на отрезке [0;1] найдутся 2 точки на расстоянии 0,1, в которых функция f(x) принимает равные значения.

Найдите количество перестановок a₁, a₂, ... , a₁₀чисел 1,2,...,10, таких, что a_i+1не меньше, чем a_i-1 (для i=1,2,...,9).

Решите уравнение$2x^x=\sqrt{2}$в положительных числах.

Несколько отрезков покрывают отрезок  [0, 1].

Докажите, что среди них можно выбрать несколько непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше ½.

В хоккейном турнире принимают участие <i>n</i> команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?

Докажите, что существуют числа, не менее чем 100 способами представимые в виде суммы 2001 слагаемого, каждое из которых является 2000-й степенью целого числа.

Докажите, что уравнение  <i>a</i>₁ sin <i>x + b</i>₁ cos <i>x + a</i>₂ sin 2<i>x + b</i>₂ cos 2<i>x + ... + a_n</i> sin <i>nx + b_n</i> cos <i>nx</i> = 0  имеет хотя бы один корень при любых значениях <i>a</i>₁, <i>b</i>₁, <i>a</i>₂, <i>b</i>₂, ..., <i>a_n, b_n</i>.

15 простых натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Докажите, что разность этой прогрессии больше 30000.

25 дачников получили садовые участки. Каждый участок представляет собой квадрат 1×1, и все участки вместе составляют квадрат 5×5. Каждый дачник враждует не более, чем с тремя другими дачниками. Докажите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки враждующих дачников не были бы соседними (по стороне).

На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках.

Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.