Задача
Вычислите$\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx$.
Решение
Запишем:$\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx =$$\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ 1 - \sin^2(\sin (\pi / 2 - x)) dx .$Но$\int_0^{\pi /2}f(x) dx = \int_0^{\pi /2}f(\pi/2 - x)dx,$так как графики функций$f(x)$и$f(\pi / 2 -x)$симметричны относительно прямой$x= \pi /4$, и интегралы от этих функций на промежутке от 0 до$\pi /2$будут равны. Таким образом, искомый интеграл равен$\pi / 2$.
Ответ
$\pi / 2$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет