Задача
Докажите, что существуют числа, не менее чем 100 способами представимые в виде суммы 2001 слагаемого, каждое из которых является 2000-й степенью целого числа.
Решение
Рассмотрим числа 1, 2, 3, ...,N. Из 2000-х степеней этих чисел будем составлять всевозможные суммы, в каждой из которых участвует 2001 слагаемое. Таких сумм (без учета порядка слагаемых) всего будет не меньше чемN2001/2001!(каждое слагаемое может быть выбраноNспособами, и в результате перестановки слагаемых одинаковыми оказываются не более 2001! сумм). С другой стороны, каждая из рассматриваемых сумм не больше чем 2001N2000. Поэтому если N2001/2001!> 100·2001N2000 (то есть N> 100·2001·2001!, то не менее 100 сумм принимают одно и то же значение (что нам и требуется).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь