Используем индукцию по числу отрезков, покрывающих отрезок  [0, 1].

  База. Для покрытия одним отрезком утверждение очевидно.

  Шаг индукции. Пусть отрезок  [0, 1]  покрыт  n + 1  отрезком. Если среди них имеется отрезок, который покрыт остальными, то выкинем его из покрытия и воспользуемся предположением индукции.

  Пусть таких отрезков нет. Обозначим отрезки  I_i = [a_i, b_i]  так, что  a₁ < a₂ < ... < a_n.  Тогда  b_i < b_i+1  для каждого i. С другой стороны,  b_i < a_i+2,  иначе отрезки I_i и I_i+2 покрывали бы отрезок I_i+1.  Значит, отрезки с нечётными номерами попарно не пересекаются, как и отрезки с чётными номерами. Поскольку все отрезки образуют покрытие отрезка  [0, 1],  либо сумма длин отрезков с чётными номерами, либо сумма длин отрезков с нечётными номерами не меньше ½. Тем самым найдена искомая система непересекающихся отрезков.

Ответ задачи отсутствует