Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» - сложность 4 с решениями

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.

Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.

Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

Для каждой пары действительных чисел<i>a</i>и<i>b</i>рассмотрим последовательность чисел<i>p</i>_n= [2{<i>an</i>+<i>b</i>}]. Любые<i>k</i>подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины<i>k</i>будет словом последовательности, заданной некоторыми<i>a</i>и<i>b</i>при<i>k</i>= 4; при<i>k</i>= 5? Примечание: [<i>c</i>] - целая часть, {<i>c</i>} - дробная часть числа <i>c</i>.

Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i>  у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i>^k/_n</i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.

  а) Какие коробки следует купить при  <i>n</i> = 10  и  <i>k</i> = 3 ?

  б) Тот же вопрос для произвольных натуральных  <i>n ≥ k</i>.

Из имеющихся последовательностей {<i>b_n</i>} и {<i>c_n</i>} (возможно, {<i>b_n</i>} совпадает с {<i>c_n</i>})  разрешается получать последовательности  {<i>b_n + c_n</i>},

{<i>b_n – c_n</i>},  {<i>b_nc_n</i>}  и  {^<i>b_n</i>/_{<i>c_n</i>}}  (если все члены последовательности {<i>c_n</i>} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последователь...

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Две прямые на плоскости пересекаются под углом$\alpha$. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол$\alpha$измеряется рациональным числом градусов.

Докажите, что числа вида 2ⁿпри различных целых положительных<i>n</i>могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Для любых натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_m</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif">   не равна нулю. Докажите это.

Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму

$$ Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor . $$

Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму

$$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$

Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.

  а) Докажите, что  α_<i>n</i> < ³/₁₆  для некоторого <i>n</i> .

  б) Может ли случиться, что  α_<i>n</i> > ⁷/₄₀  при всех натуральных <i>n</i>?

В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  <i>x ± y ± z = n</i>  (при всех целых <i>n</i>). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (<i>x</i>₀, <i>y</i>₀, <i>z</i>₀)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное <i>k</i>, при котором точка  (<i>kx</i>₀, <i>ky</i>₀, <i>kz</i>₀)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

Определим последовательности чисел (<i>x_n</i>) и (<i>d_n</i>) условиями  <i>x</i>₁ = 1,  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = [ <img width="103" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60875/problem_60875_img_2.gif"> ],  <i>d_n</i> = <i>x</i>_2<i>n</i>+1 – 2<i>x</i>_{2<i>n</i>–1}  (<i>n</i> ≥ 1).

Докажите, что число <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-me...

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  <i>n</i> ≠ 4  не существует правильного <i>n</i>-угольника с вершинами в узлах решетки.

Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.