Случай  n = 3  разобран в задаче 160867. Отсюда сразу следует невозможность существования правильного 3k-угольника (в частности, шестиугольника) с вершинами в узлах решетки.

   Пусть  n ≠ 3, 4, 6.  Предположим, что удалось построить правильный n-угольник с вершинами в узлах. Далее можно рассуждать по разному.   Способ 1. Для трёх последовательных вершин A, B, C нашего n-угольника построим параллелограмм ABCD. Его четвёртая вершина D, очевидно, тоже попадает в узел. Проделав такое построение для каждых трёх последовательных вершин, мы получим n новых узлов решетки. Нетрудно проверить, что эти узлы не совпадают и лежат внутри исходного n-угольника. В силу симметрии они образуют новый правильный n-угольник, лежащий внутри исходного.

  Повторив для него то же построение, мы получим еще один – еще меньший – правильный n-угольник, и так далее. Но бесконечно эта процедура продолжаться не может, так как исходный многоугольник содержит лишь конечное число узлов решетки. Противоречие.   Способ 2. Рассмотрим равнобедренный тр-к ABC (A, B, C – последовательные вершины n-угольника). Из теоремы косинусов следует, что

cos ∠ABC  – рациональное число. Согласно задаче 161103 отсюда следует, что  ∠ABC = ^π/₃, ^π/₂  или ^2π/₃, то есть  n = 3, 4 или 6.  Противоречие.

Ответ задачи отсутствует