Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Доказать, что не существует таких натуральных чисел <i>x, y, z, k</i>, что  <i>x^k + y^k = z^k</i>  при условии  <i>x < k,  y < k</i>.

Найти корни уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

В числовом треугольнике <div align="center"><img src="/storage/problem-media/76551/problem_76551_img_2.gif"></div>каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (отсутствующие числа считаются равными нулю). Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа.

Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна 0,95.

Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 среди них было не менее пяти работающих?

Даны многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i> +1) = <i>Q</i>(<i>x –</i> 1) имеет хотя бы один действительный корень.

а) Определение (смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>) функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) не позволяет вычислять их значения при  <i>x</i> = 1.  Но, поскольку функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) являются многочленами, они определены и при  <i>x</i> = 1.  Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61523/problem_61523_img_2.gif"> б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161522">161522</a> подставить значение  <i>x</i> = 1?

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_3.gif">

Найдите у чисел   а)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

<b>Малая теорема Ферма</b>. Пусть <i>p</i> – простое число и <i>p</i> не делит <i>a</i>. Тогда  <i>a</i>^<i>p</i>–1 ≡ 1 (mod <i>p</i>).

Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^<i>p</i>  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160400">160400</a>).

<div align="CENTER"> <table cellpadding="3"> <tr><td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER">1</td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </...

Вычислите сумму:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60582/problem_60582_img_2.gif">

Докажите равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60581/problem_60581_img_2.gif">

(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

Докажите следующий вариант <i>формулы Бине</i>:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60579/problem_60579_img_2.gif">

Какое слагаемое в разложении  (1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60420/problem_60420_img_2.gif">)¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

Найдите <i>m</i> и <i>n</i> зная, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60419/problem_60419_img_2.gif">

Докажите тождества:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif">   – это количест...

Вычислите суммы:   a)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif">   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">

Придумайте какой-нибудь способ достроить треугольник Паскаля вверх.

Докажите, что в равенстве   (<i>x</i>₁ + ... + <i>x_m</i>)^<i>n</i>  = <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_2.gif">   коэффициенты  <i>C</i>(<i>k</i>₁,..., <i>k_m</i>)  могут быть найдены по формуле   <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_3.gif">

Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении а) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_3.gif">)¹⁰⁰; б) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_4.gif">)<sup>300</sup&gt...

Докажите справедливость формулы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60388/problem_60388_img_2.gif">

Найдите первые 99 знаков после запятой в разложении числа   <img src="/storage/problem-media/35551/problem_35551_img_2.gif" width="59" height="14" border="0">.